Geometri Uygulamaları

9. Sınıf Geometri
10. Sınıf Geometri
11. Sınıf Geometri
12. Sınıf Geometri
12. Sınıf Analitik Geometri
İnteraktif Geometri Linkleri
 
 

Site'de Arama

Sponsor Bağlantılar

Tatil Yorum Sitesi | 
Ana Sayfa arrow Geometri Makaleleri arrow Öklid Geometrisi
Öklid Geometrisi Yazdır E-Posta

ÖKLİD GEOMETRİSİ 

 

ÖKLİD

Öklid gelmiş geçmiş matematikçilerin içinde adı geometri ile en çok özleştirilen kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri, başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen geometriyi “Elemanlar” adını taşıyan kitabında toplamasıyla kazanmıştır. Hayatı hakkında Mısır’da öğrencilik yaptığı dönemler hariç çok az bilgi vardır. M.Ö 325-265 yılları arasında yaşadığı sanılıyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Elemanlar'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar önce yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.

Öklid ve hayatı hakkında üç önemli ve mümkün teori vardır:

 

i)Öklid tarihi bir karakter değildir. Yazdığı “Elemanlar” kitabı ve diğer çalışmaları onu bir sembol yapmıştır.

ii)Öklid Alexandria’da çalışan matematikçiler takımının lideridir. Bunların hepsi Öklid’in eserlerine bir katkıda bulunmuşlardır. Hatta Öklid öldükten sonra onun adı altında kitap yazmaya devam etmişlerdir.

iii)Öklid tarihi bir karakter değildir. Öklid’in tamamlanmış çalışmaları Alexandria’daki matematikçiler takımı tarafından yazılmıştır. Öklid ismini ondan 100 yıl önce yaşamış tarihi bir karakter olan Megaralı Öklid’ten almıştır.

Öklid’in hiçbir çalışmasının bir önsözü yoktur, hiçbiri günümüze kadar kalmamıştır. Yani onun karakteri hakkında fazla birşey göremiyoruz. Onun hakkında Pappus şöyle der : “Öklid en dürüst ve ilişkide bulunduğu kişilere karşı son derece iyi niyetli, dikkatli ve yumuşak davranan bilge ve alçak gönüllü birisiydi.”

Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.

Öklid “Elemanlar” adlı çalışmasında Eudoxus’un pek çok teoremini bir araya getirip onlara bir bilimsel çalışma düzeni vermiştir. Ayrıca Theaetetus’un da pek çok teoremini eksiksiz bir şekilde, kendinden önce başıboş ve düzensiz bir şekilde yapılan çalışmaları düzenleyip onları bilimsel formda sunmuştur. Birinci Ptolemy döneminde yaşamıştır. Archimedes’e göre Öklid bir Platonistti ve Platon’a ve felsefesine sempatiyle bakıyordu, bu yüzden de “Elemanlar” adlı eserindeki şekillere Platonik şekiller adını verdi.

 

“Elemanlar” çalışması 13 kitaptan oluşmaktadır. Bunlar sırasıyla;

I) Benzerlikler, paraleller, Pisagor teoremi
II) Özdeşlikler, alan hesabı, altın kesim
III) Daireler
IV) Dairelerin içine ve dışına çizilen çokgenler
V) Oran ve Orantı Kavramı
VI) Çokgenlerin Benzerlikleri
VII, VIII ve IX) Aritmetik, eski sayılar teorisi
X) Ortak ölçüsü olmayan büyüklükler
XI, XII ve XIII) Uzay Geometrisi

Birden altıya kadar olan kitaplar düzlemsel geometri konusunu kapsar.İlk iki kitabın belirli bölümlerinde temel üçgen özellikleri, paralel ve paralel kenarlar, dikdörtgenler ve karelerden bahsedilmiştir.


Üçüncü kitapta çemberin özelliklerine değinilmiştir, dördüncü kitapta ise bunlarla ilgili problemlere yer verilmiştir.

Beşinci kitapta Eudoxus’un oran ve orantı hakkındaki çalışmalarını düzenlemiş ve bunları eşit ve eşit olmayan büyüklüklerde uygulamıştır. Heath şöyle der: “Yunan matematiği; geometride ses getiren ve orantıyı kullanan bu buluştan gurur duyabilir.”

Altıncı kitap ise beşinci kitaptaki düzlemsel geometriyle ilgili çıkarılan sonuçları anlatır.

Yedinci kitap ise sayı teorisiyle ilgilidir. Kitabın belli bazı bölümlerinde sayı teorisine giriş, Öklid algoritması ve iki sayının en büyük ortak böleninin bulunmasını anlatır.

Sekizinci kitap geometrik düzende sayılardan bahseder.

Onuncu kitapta irrasyonel sayılar teorisi vardır. Öklid genellikle Theaetetus’ un ispatlarından yararlanmış ve onları değiştirerek Eudoxus’ un orantı tanımına uydurmuştur.

On bir ve on üçüncü kitaplar ise üç boyutlu geometriyle ilgilidir. On birinci kitapta gerekli üç kitapta kullanılan temel tanımlar verilmiştir.

On ikinci kitapta genel sonuçlar verilmiştir. Bu sonuçlar şöyledir: Çemberler, kareler, küreler kendi aralarında benzerdir ve bire birdir. Bu sonuçlar tabi ki Eudoxus’un sayesinde bulunmuştur. Öklid burada bazı teoremlerin ispatını da Eudoxus’un “exhaustion” metoduna göre yapmıştır.

“Elemanlar” eseri beş çeşit polihedranın genel özelliklerinin tanıtıldığı on üçüncü kitapla son bulur. Bu kitap Theaetetus’un geniş bilimsel çalışmaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Öklid’in “Elemanlar” eseri açıklık ve teoremlerin başlangıcı ve ispatı açısından olağanüstüdür.

Bu muhteşem kitap bütün küçük kusurlarına rağmen halen en büyük matematik kitabı olarak günümüze kadar kalmıştır. Eski yunan döneminde bile yetenekli matematikçiler bu çalışmayı kullanmışlardır. Örnek olarak Heron, Pappus, Porphyry, Proclus and Simplicius. Alexandria’lı Theon bu eseri yeniden düzenlemiştir. Dilini yenilemiş ve kitabı daha anlaşılır ve açık hale getirmiştir. Euclid’in “Elemanlar”ının Euclid zamanından beri hayatta kalması gerçekten muhteşem bir hikayedir. Bizim Euclid’in eserlerine ulaşmamız altı parça halinde ve resim ve şekilleri olan yazıların 1906/1908 yılları arasında Elephantine adasında bulunmasıyla olmuştur. Bu yazılar eskidir, Plato’nun ölümünden 100 yıl kadar önce. Elemanların ikinci parçası ise M.Ö 75-125 yılları arasında ortaya çıkmıştır. Binden fazla baskı yapan “Elemanlar” ilk baskısı olan 1482 yılından beri devam etmektedir. Bu eserlerin baskılarının bazı yazınsal değişikliklere uğradığı tartışılır. Geometrik sebeplerin, teoremlerin ve metotların 19. yüzyıla kadar kullanılan birincil kaynağı olmuştur. Bazen “Elemanların” batı dünyasında en çok çevirisi yapılan ve basılan kitap olduğu söylenir. Euclid’in bunun dışında günümüze kalan kitapları da vardır. Bunların da çevirileri yapılmaktadır. Bunları şöyle sıralayabiliriz: Data adlı kitabında şekillerin özelliklerine bakılmış ve tümdengelim yöntemiyle diğer özellikleri bulunmuştur. Bölme kısmında ise bir şekli istenilen oranda ikiye bölme anlatılmıştır. Optik ise eski Yunanda ilk defa perspektif alanında yapılan çalışmadır. Phaenomena ise matematiksel astronomiye giriş alanında yazılmış bir kitaptır. Bu kitapta yıldızların çeşitli zamanlardaki pozisyonlarından bahsedilmektedir. Ayrıca yıldızların doğuş ve batış zamanları da belirtilmiştir. Euclid’in şu kitapları ise tamamen kayıptır.: Yüzey locisi(2 kitap), Porisms (3 kitap, 171 teorem ve 38 lemma), konikler (4 kitap), müziğin elemanları.

Elemanlara sonradan iki kitap daha eklenmiştir ve bunları Öklid’in yazmadığı tahmin edilmektedir.

  • XIV. kitapta bir küre içine çizilen düzgün üç boyutluların mukayesesi yapılmıştır ve bu kitabın Hypsicles (M.Ö. 2. yüzyılın ikinci yarısı) tarafından Apollonius'dan etkilenerek yazıldığı sanılmaktadır.
  • XV. kitapta ise düzgün üç boyutluların birbiri içine nasıl çizileceği ve açı ve kenar hesaplarının nasıl yapılacağı incelenmiştir. Bu kitabın Miletli Isidore (532) tarafından yazıldığı düşünülmektedir.

İskenderiye'de yazılmış olan Elemanların içeriğinden çok, kapsamış olduğu konuların sunuluş biçimi önemlidir; önce bir takım tanımlar, aksiyomlar ve postülalar verilmiş ve teoremler, bunlara dayanarak kanıtlanmıştır. Böylece geometri, belirli tanım ve ilkeler çerçevesinde yapılandırılmış olmaktadır.

Elemanlarda nokta, çizgi, düzlem ve cisim gibi geometrik kavramlar tanımlandıktan sonra, aksiyomlara geçilmiştir. Aksiyom, doğruluğu açık ve seçik olan önerme demektir. Öklid'in aksiyomları şunlardır:

 

1. Aynı sayıya eşit olan sayılar birbirlerine de eşittirler.

2. Eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, eşitlik bozulmaz.

3. Eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz.

4. Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir.

5. Bütün parçadan büyüktür.

 

Aksiyomlardan sonra da postülalar verilmiştir. Postüla, ispat edilmeksizin doğru olarak benimsenen önerme demektir. Öklid'in postülaları ise şunlardır:

 

1.      İki nokta arasını birleştiren en kısa yol bir doğrudur.

2.      Bir doğru, doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir.

3.      Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bir çemberdir.

4.      Bütün dik açılar birbirine eşittir.

5.      İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu yönde bu iki doğru kesişir.

 

Bu önermelerden, uzayla ilgili olduğu halde, Öklid'in açıkça belirtmediği üç önerme daha çıkarılabilir:

 

1.      Uzay üç boyutludur.

2.      Uzay sonsuzdur.

3.      Uzay homojendir.

 

Uzun süre postüla olarak adlandırılan önermelerin yapıları tam olarak anlaşılamamış ve Öklid'in paraleller postülası adıyla tanınan beşinci postülası matematikçiler tarafından sanki bir teoremmiş gibi kanıtlanmaya çalışılmıştır. Bazı matematikçiler ise, bu postülayı daha kullanışlı başka bir postüla ile değiştirmek istemişlerdir. Paraleller postülası yerine konulan en tanınmış postülalar şunlardır:

 

1.      Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

2.      Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.

 

Öklid beşinci postülanın gerekli olduğunu görmüş ve sezgisel olarak en yalın biçimini seçmişti; bu da onun dehasının göstergelerinden yalnızca bir tanesidir.

 

Öklid, Yunan Matematiğinin standartlaşmasına yardım etmiştir. Öklid’in ele aldığı konular şunlardır: Geçişme özelliği, Pisagor teoremi, cebirsel özdeşlikler, çemberler, tanjantlar, düzlem geometri, orantı teorisi, asal sayılar, pozitif sayıların özellikleri, irrasyonel sayılar, üç boyutlu şekiller, sınırlı ve çembersel bölgeler, LCD, GCM ve temel katıların yapısı. Özellikle dikkate alınması gereken konular tahmin(yaklaşma) metodudur. Bu metod Archimedes tarafından integral hesabının bulunmasında kullanılmıştır ve yine bütün asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunun ispatında kullanılmıştır. Elemanlar kitabı Latin ve Arab dillerine çevrilmiştir, uzun süreli bir eser olmuştur. Bu periyotta Öklid dünyanın gelmiş geçmiş en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edildi. Kitapları 1903 yılına kadar okullarda kullanıldı. Öklid bölme, fenomena, optik, konikler ve prizmalar hakkında önemli bilgiler içeren kitaplar yazmıştır. Öklid matematiği standartlaştıran ya da standartlaştırmaya çalışan ilk kişi olmuştur. Çalışmaları da gelecek nesil için bir rehber olmuştur.


Öklid’in elemanlarını yoğun ve ciddi bir şekilde inceleyen ve devrinin en tanınan matematikçisi olan Clavius (1532-1562), hayatını Öklid’in oran ve orantıyla ilgili bulduğu özellikleri geliştirmeye adamıştır. Clavius bunu sadece rasyonel sayılara uygulayan Öklid’in çalışmasını geliştirmiş ve bunu irrasyonel sayılara da uygulamıştır. Ayrıca Öklid’in ispatını yapamadığı bu özelliği de ispatlamıştır. Bunlarla beraber oran ve orantı konusunda Öklid’in çeşitli açıklamalarını baz alan Clavius bunları geliştirmiş ve yeni teoremler ortaya atmıştır. Öklid’in Elemanlarının ilk baskısını 1574’te yapan Clavius büyük başarı sağlamıştır ve ününü iyice arttırmıştır.

 

Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu.

 

19. yüzyılda paraleller postülası değiştirilerek Öklid dışı geometriler kuruldu. Nicolai Lobatchevski (1792-1856), "Bir doğruya, dışındaki bir noktadan pek çok paralel çizilebilir veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden küçüktür." önermelerini ve Bernhard Riemann (1826-1866) ise "Bir doğruya dışındaki bir noktadan paralel çizilemez veya bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür." önermelerini, beşinci postülanın yerine geçirerek Öklid dışı geometrilere ulaştılar. Felix Klein (1847-1925) bu geometrilerin birbirleriyle olan ilişkilerini gösterdi. Ona göre, Öklid geometrisi sıfır eğrilikli bir yüzeye işaret eder ve pozitif eğrilikli bir yüzey (örneğin küre-dışı) üzerindeki Riemann geometrisi ile negatif eğrilikli bir yüzey (örneğin küre-içi) üzerindeki Lobatchevski geometrisi arasında yer alır; yani, parabolik geometri olan Öklid geometrisi, elliptik geometri (Riemann) ile hiperbolik geometrinin (Lobatchevski) limitidir.

 

Birden fazla geometrinin ortaya çıkması, akla bunlardan hangisinin doğru olduğu sorusunu getirebilir. Böyle bir soru anlamsızdır; çünkü teoremlerin doğruluğu, dayandıkları postülalara bağlıdır. Hangi geometri incelediğimiz konuya uygunsa, o geometriyi kullanırız. Şu halde, "Hangi geometri doğrudur?" sorusu yerine, "Hangi geometri yararlıdır?" sorusunun sorulması daha yerinde olacaktır. Üzerinde yaşadığımız Dünya'da, yani orta ölçekli boyutlarda Öklid geometrisi geçerlidir, ama Einstein, görelilik kuramını oluştururken, doğal olarak Riemann geometrisini kullanmıştır.

 

Günümüzdeki Öklid Çalışmaları:

  Archibald, Raymond Clare (1875-1957). Euclid'in şekillerin bölünmesiyle ilgili kitabı. Cambridge University Yayınları, Cambridge, 1915.

  Berggen J.L. Euclid’in Fenomenası: Euclid’in Helenistik çağda yaptığı astronomik çalışmaların tercümesi Garland, 1996

  Bretschneider, Karl Anton. Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides; ein historischer Versuch. Teubner, Leipzig, 1870.

  Busard, H.L.L. Euclid'in "Elementları"nın ilk Latince tercümesi. Pontifical Enstütüsü.

  Chasles, M. (Michel) (1793-1880) Les trois livres de porismes d'Euclide, rétablis ... d'aprés la notice ... de Pappus. Mallet-Bachelier, Paris, 1860.

  Frankland, William Barrett. Euclid'in Elementlarının didaktik biçimde yorumlandığı ilk kitap. Cambridge Univ Yayınları, New York, 1905.

  Heath, Sir Thomas Little (1861-1940) Euclid’in 13 kitabının giriş bölümleri ve yorumlarıyla birlikte tercümesi. Üç cilt. University Press, Cambridge, 1908. İkinci Baskısı: University Press, Cambridge, 1925. Yenibasım: Dover Publ., New York, 1956. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928),60-62.

  Heiberg, J. L. (Johan Ludwig) (1854-1928) Euclid’in omnia operası. 8 cilt. ve ilaveler. 1883-1916. Hazırlayan J. L. Heiberg ve H. Menge.

  Kayas, G. J. Elemanlar(Fransızca). CNRS, 1978.

  Knorr, Wilbur Richard Euclid’in Elemanlarının Gelişimi. cilt 15. Reidel, Dordrecht-Boston, 1975.

  Morrow, Glenn R. Proclus: Euclid’in Elamanlarının ilk kitabının yorumu. Çeviren G. R. Morrow. Princeton Univ Press, Princeton, 1970.

  Mueller, Ian. Matematik felsefesi ve Philosophy of mathematics ve tümdengelim yapısı . MIT Press, Cambridge, Mass., 1981.

  Schmidt, Robert. Euclid'in eğilimleri , commonly genelde bilgileri adı verilir. Golden Hind Press, 1988.

  Taisbak, C. M. Renkli dörtgenler. Euclid’in elemanlarının 10 kitabının rehperi. Opuscula Graecolatina, 24. Museum Tusculanum Press, Copenhagen, 1982.

  Thomas-Stanford, Charles Euclid’in elemanlarının ilk baskıları. Bibliographical Society, London, 1926. Yeniden gözden geçirildi: 10 (1928), 59-60.

  Thomson, William. Pappus' Euclid’in Elamanları’nın yorumu. Cambridge, 1930. Review: Isis 16 (1931), 132-136

 

Kaynaklar:

 

www.matder.org.tr/unluler/oklid

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid

Encyclopedia Britannica

http://www.mathopenref.com/euclid.html

 

 

Yorumlar (1)Add Comment

Yorum Yaz

busy
 
Free Joomla Templates